検定について
用語
第一種の過誤
- 帰無仮説が誤って棄却されること
- 言い換えると、
偶然、有意を踏むこと
第二種の過誤
- 帰無仮説が誤って採択されること
- 言い換えると、
偶然、有意にならないこと
サンプルサイズの設計
検定力を\(Z_0\)とすると
\(E[Z_0] = \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}}\)
となり、正規分布に従う
サンプルサイズnを決定するには片側有意水準(0.975)の1.96と第二種の過誤の正規分位点(80%)の0.84をあわせて
\(1.96 + 0.84 = \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}}\)
よって
\(n = \frac{(1.96 + 0.84)^2}{(\frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma})^2}\)
検定の種類
1標本で平均の検定(母平均がわかり、母分散がわからない場合)
概要
- 両側t検定
- \(s\)は不偏標準偏差である
統計量
\[T = \frac{\bar{X} - \mu}{ \sqrt{\frac{s}{n}} }\]2標本で平均の検定(２つの標本の母分散が同じで、母分散が分かる場合)
概要
- 母分散がわかるので正規分布を利用し、自由度はない
統計量
\[T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n_X} + \frac{1}{n_Y}}}\]2標本で平均の検定(母分散がわからない場合)
概要
- スチューデントのt検定
- 不偏標準偏差を合成した\(s\)を用いて計算する
- 平均の差に対して差があるかどうかを検定する
- ２つのデータに対して
対応がないときに使用できる
統計量
\[s = \sqrt{\frac{(n_X-1)s_X^2 + (n_Y-1)s_Y^2}{n_X + n_Y - 2}}\] \[T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{ \sqrt{ ( \frac{1}{n_X} + \frac{1}{n_Y}) s^2}}\]- 自由度は\(n_X + n_Y - 2\)
1標本で分散の検定(カイ二乗分布)
概要
- カイ二乗分布に従う
- \(s\)は不偏標準偏差
統計量
\[\chi^2_{n-1} = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\]これを変形して母分散の範囲は
\[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(0.025)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(0.975)}\]自由度は\(n-1\)である
2標本での分散の検定(F検定, f分布)
概要
- F検定と呼ばれる検定で、F分布に従う
統計量
\[T = \frac{s_b}{s_a}\]母比率の検定(検定対象が二項分布, 正規分布で検定)
統計量
\(E[\bar{X}] = p\) と \(\sqrt{V[\bar{X}]} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)により
\[Z = \frac{\hat{p} - p}{ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }\]母比率の差の検定(検定対象が二項分布, 正規分布で検定)
統計量
\[Z = \frac{(\hat{p}_X - \hat{p}_Y)}{\sqrt{ \frac{\hat{p}_X(1-\hat{p}_X)}{n_X} - \frac{\hat{p}_Y(1-\hat{p}_Y)}{n_Y} }}\]または
\[Z = \frac{(\hat{p}_X - \hat{p}_Y)}{\sqrt{ \hat{p}(1-\hat{p})\left( \frac{1}{n_X} + \frac{1}{n_Y} \right) }}\]