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確率過程(stochastic process)について

独立定常増分過程

• 各時系列でそれぞれが独立であること

ブラウン運動

• ブラウン運動(B)の定義
  • Bは独立定常増分過程
  • μ = 0, σ^2 = 1である

ポアソン過程

• λtを強度とする

\[P(N_t = k) = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\]

複合ポアソン過程

• 概要
  • k回目のイベントまでに何らかの量Uが起こる累積和
• 具体例
  • 時刻tまでの発生回数をNとする
  • k回目の地震が起こるまでの損害額Uとしたきの累積和X

\[E[N_t]=\lambda t \\ E[U_k]=\mu\\ V[U_k]=\sigma^2\]

ならば

\[E[X_t] = \mu E[N_t] = \lambda \mu t \\ V[X_t] = \lambda t (\mu^2 + \sigma ^2)\]