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ノンパラメトリック法について

• 母集団分布の分布を仮定せず、検定を行うこと

ウィルコクソンの順位和検定

• 概要
  • ある表のデータに関して２つの群に差があったかを調べる方法
• 具体的な説明
  • ランク化する
  • ランク化した値の和を計算する
  • 要素の数n、片方の群の数mとするとnCmでランクの表現が記述できる
  • ランクの和の値までの数 / nCm がP値になる
• プログラムで計算するのは簡単であるが、筆算は難しそう

符号付き順位和検定

• 概要
  • ２つの群の差を2^nのノンパラメトリックで表現して考える
• 具体的な説明
  • 差のデータ([-15, -9, 0, 6, 11, 20, 25])を絶対値で符号付きランク化する([1, -2, 3, -4, 5, 6])
    • この際、0は無視するデータとする
  • 2^6ですべての可能性が示せる
  • ランク化した合計はt+ = 15でありこれより大きいパターは、14個ある
  • つまり、P(T+>15) = 15/64 = 0.22である
• 一般化
  • サンプルサイズをn
  • 平均; n(n+1)/4
  • 分散; n(n+1)(2n+1)/24
  • 正順位和; 順位を割り当てたうち正の数の和
• 検定としての利用

\(Z = \frac{(正順位和 - \mu)}{\sqrt{\sigma^2}}\)

\(Z = \frac{(正順位和 - \frac{n(n+1)}{4})}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}\)

クラスカルウォリス検定

• 概要
  • 3群において分布がすべて等しいか(帰無仮説)、異なるかの検定
• 具体的な説明
  • すべての数を順位として表す
  • \(H\)を求めたら群-1の自由度でカイ二乗分布より有意を判別できる

式1 \(H = \frac{12}{N(N+1)} \left( n_a(\bar{R_a} - \bar{N}) + n_b(\bar{R_b} - \bar{N}) + n_c(\bar{R_c} - \bar{N})\right)\)

• n; サンプルサイズ
• \(\hat{N}\); 中央値
• \(R\); 順位和
• \(\hat{R}\); 順位平均

式2 \(H = \frac{12}{N(N+1)} \left( \frac{R_a^2}{n_A} + \frac{R_b^2}{n_B} + \frac{R_c^2}{n_C} \right)\)