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確率母関数について

概要

• 確率母関数を一回微分して0を代入すると期待値
• 確率母関数を二階微分して0を代入し、一回微分の二乗から引くと分散

\[M_X^1(0) = E(X) = \mu\] \[M_X^2(0) = E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2\] \[V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = M_X^2(0) - (M_X^1(0))^2\]

定義

\[M_X(t) \equiv E(e^{tX})\]

連続関数のとき

\[M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx\]

確率密度関数のm次モーメント

$$ M_X^{(m)}(t) = E^{(m)}(e^{tX}) = E(X^me^{tX}) $4