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指数分布の特性と確認

概要

• 無記憶性がある過程で用いられる
• ポアソン分布との違いは、指数分布が次に起こる時間に着目しているのに対し、ポアソン分布は発生回数に着目している
• ポアソン過程から指数分布は導出できる
• \(Exp(\lambda)\)のような記号で記される

指数分布をポアソン過程から導出

ポアソン過程を考える \({\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}}}\)

時刻\(t\)まで何も発生していないのだから、発生回数\(k=0\)である

\[P(X > t) = e^{-\lambda t}\]

時刻\(t\)までに一回以上発生するのだから、上の式の余事象を考えば良いから

\[F(T \le t) = 1 - e^{- \lambda t}\]

確率密度関数と期待値と分散

確率密度関数

\(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\)　

累積分布関数

\[F(t) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = 1 - e^{-\lambda t}\]

期待値

\[E[X] = \frac{1}{\lambda}\]

分散

\[V[X] = \frac{1}{\lambda^2}\]

指数分布とポアソン分布の違い

• 指数分布 -> 次に起こるまでの確率
• ポアソン分布 -> ある期間に何回起こるかの確率 　

  参考

• ポアソン過程の到着間隔～指数分布/TauStation