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尤度関数について

• 確率関数のΠをとったもの
• 対数尤度関数はこれのlogをとったもの
• 最尤推定値は対数尤度関数の鞍点(であることが多い)

例; ポアソン分布のλの最尤推定値の求め方

1. 対数尤度関数を求める
2. 1.の式を微分して0と仮定する
3. 2.で未知の変数を求める

\[l(\lambda) = log \prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} = -n\lambda + \sum_{i=1}^{n}x_i log\lambda - \sum_{i=1}^{n} log x_i !\]

微分すると

\[\frac{d}{d\lambda} l(\lambda ) = -n + \sum x_i \lambda^-1 = 0\]

よってλの最尤推定値は

\[\lambda = \frac{1}{n} \sum x_i\]