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多項分布について

概要

二項分布を一般化したもの

期待値・分散・共分散

期待値

\[E[X_1] = \sum_{i=1}^{k} x_1 f(x_1, x_2, x_3, ..., x_k) \\ =np_1\]

分散

\[V[X_1] = n p_1(1-p_1)\]

連続期待値

\[E[X_1X_2] = n(n-1)p_1p_2\]

共分散

\[Cov[X_1, X_2] = E[X_1X_2] - E[X_1]E[X_2] = n(n-1)p_1p_2 - n^2p_1p_2 = -np_1p_2\]