共役事前分布

/

共役事前分布の特性について

タグ 共役事前分布

概要

ベイズの定理でよく使われる式に以下のものがある

\[p(\theta|x) \propto p(x|\theta) p(\theta)\]
  • \(p(\theta)\)を事前分布(共役事前分布)
  • \(p(x \theta)\)を尤度
  • \(p(\theta x)\)を事後分布

ベータ分布は二項分布の共役事前分布

二項分布: \(p(\theta x) = _nC_x \theta^x(1-\theta)^{n-x}\)

ベータ分布: \(p(\theta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}\)

があった時

\[p(\theta|x) \propto p(x|\theta)p(\theta)\]

より

\[p(\theta|x) \propto \theta^{x+\alpha-1} (1-\theta)^{n-x+\beta-1}\]

参考