共役事前分布の特性について
概要
ベイズの定理でよく使われる式に以下のものがある
\[p(\theta|x) \propto p(x|\theta) p(\theta)\]- \(p(\theta)\)を事前分布(共役事前分布)
-
\(p(x \theta)\)を尤度 -
\(p(\theta x)\)を事後分布
ベータ分布は二項分布の共役事前分布
| 二項分布: \(p(\theta | x) = _nC_x \theta^x(1-\theta)^{n-x}\) |
ベータ分布: \(p(\theta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}\)
があった時
\[p(\theta|x) \propto p(x|\theta)p(\theta)\]より
\[p(\theta|x) \propto \theta^{x+\alpha-1} (1-\theta)^{n-x+\beta-1}\]