ベータ分布の特性
意味
- あるコインを投げて表と裏の回数を(a,b)とカウントしたとき, 分布f(x)が定義できる
ベータ関数について
\[B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1} x^{\alpha} (1-x)^{\beta} dx = \frac{(\alpha-1)!(\beta-1)!}{(\alpha+\beta-1)!}\]また、ガンマ関数を用いて表すと
\[B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\]定義
\[f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}\]期待値と分散
期待値
\[E[X] = \frac{a}{a+b}\]分散
\[V[X] = \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\]