バーゼル問題について
概要
- 収束するかどうかが議論されていた数式があった
- 収束するが、簡単には収束する値を求められない
- ゼータ関数の特殊系
- マクローリン展開かフーリエ解析で実際の収束値を確認することができる
式
\[\sum_{n=1}^{\infty} = \lim_{n->\infty} \left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} \right)\]フーリエ解析での収束する値を求める
\[f(x)={\frac {x^{2}}{4}}\quad (-\pi \leq x\leq \pi )\]偶関数であるから、cosで表現できる \(\frac {x^{2}}{4}}={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.\)
以下のように整理することできる \({\displaystyle f(x)={\frac {\pi ^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx}\)
\(x = \pi \)のとき
\[{\frac {\pi^{2}}{4}}={\frac {\pi^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}\]よって
\[\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi^{2}}{6}}\]