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デルタ法について

\({X_n}\)が平均\(\mu\), 分散\(\sigma\)に従うとき、ある関数を\(f(\bar{X_n})\)となるとき、\(\sqrt{n}(f(\bar{X_n}) - f(\mu))\)の収束先を求める方法のこと

テイラー展開をより \(\sqrt{n}(f(\bar{X_n}) - f(\mu))\)は\(N(0, f’(x)^2 \sigma^2)\)に収束する

例;

\(\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) / \sigma\)の収束

これは中心極限定理なので \(N(0, 1)\)に収束する

\(\sqrt{n}(\bar{X}^2 - \mu^2)\)の収束

\(f(x) = x^2\)とおくと、\(f’(x) = 2x\)となるから\(N(0, (2\mu)^2\sigma^2)\)

\((\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) / \sigma)^2\)の収束

中心極限定理の収束先の二乗であるから、独立な正規分布の二乗である

つまり、自由度1のカイ二乗分布に収束する