デルタ法について

${X_n}$が平均$\mu$, 分散$\sigma$に従うとき、ある関数を$f(\bar{X_n})$となるとき、$\sqrt{n}(f(\bar{X_n}) - f(\mu))$の収束先を求める方法のこと

テイラー展開をより $\sqrt{n}(f(\bar{X_n}) - f(\mu))$は$N(0, f’(x)^2 \sigma^2)$に収束する

例;

$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) / \sigma$の収束

これは中心極限定理なので $N(0, 1)$に収束する

$\sqrt{n}(\bar{X}^2 - \mu^2)$の収束

$f(x) = x^2$とおくと、$f’(x) = 2x$となるから$N(0, (2\mu)^2\sigma^2)$

$(\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) / \sigma)^2$の収束

中心極限定理の収束先の二乗であるから、独立な正規分布の二乗である

つまり、自由度1のカイ二乗分布に収束する