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テイラー展開について

概要

無限回微分可能な関数のとき

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}\]

が成り立つ

特に、\(a=0\)のときマクローリン展開という

具体例

\(e^x\)のマクローリン展開は

\[1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + O\left(x^{6}\right)\]

\(cos(x)\)のマクローリン展開は

\[1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O\left(x^{6}\right)\]

\(sin(x)\)のマクローリン展開は

\[x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + O\left(x^{6}\right)\]