シンプソンの公式について
概要
- 積分計算が難しい式を二次関数で近似し、近似解を得る方法
基本
関数\(f(x)\)を二次関数で保管すると以下のようなものになる
\[{\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}}\]これを積分すると
\[{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}\]となり、積分を計算する必要がなくなる
合成シンプソン公式
シンプソンの公式をずらしながら重ね合わせることで広い範囲においても近似できる
\(h=(b-a)/n\)とすると、
\[{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\dotsb +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}}\]