ガンマ分布の特性
概要
- 指数分布の一般化したもの
- カイ二乗分布はガンマ分布の一つの形
- 逆ガンマ分布は正規分布の共役事前分布である
ガンマ関数
\[\Gamma(1) = 1\] \[\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!\]- 階乗の一般化
ガンマ関数は連続数の積分から導かれる(有理数を整数に接続)
\[\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}dx = (\alpha-1)!\]\(\Gamma(1/2)\)なども計算できる
\[\Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}\]ガンマ分布の定義
確率密度関数
\[f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x}\]平均
\[E[X] = \frac{k}{\lambda}\]分散
\[V[X] = \frac{k}{\lambda^2}\]逆ガンマ分布の定義
確率密度関数
\[f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{-\alpha-1}e^{-\frac{\beta}{x}}\]平均
\[E[X] = \frac{\beta}{\alpha-1}\]分散
\[V[X] = \frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-1)}\]